La operación es una tan atada a los números naturales que cuesta
imaginarla expandida a dominios más allá de ellos.
No obstante, ello es posible utilizando la función gamma, definida como
Deducirla es un proceso tardado, iniciamos con la integral de aplicando integración por partes (por conveniencia y claridad, omitiremos las constantes de integración).
Ahora observemos lo que sucede al integrar , poniendo atención en el último término.
Y al integrar …
El patrón es claro para el último término, en donde se comienzan a dar vestigios del en el horizonte. Es posible armar una forma general para la integral de Continuando con el patrón emergente de la iterada integración por partes.
Nótese que el último término, cuando , está libre de logaritmos, pues el exponente del logaritmo se hace 0.
Ahora investiguemos lo que sucede con la integral definida . Para ello usaremos la forma general que acabamos de deducir, comencemos evaluando en .
En el -ésimo término nos encontramos con el siguiente límite, que puede ser resuelto usando la regla de L’Hôpital.
Para los logaritmos con exponente es necesario aplicar la regla de L’Hôpital veces para llegar al límite mostrado anteriormente.
De esta manera, sabemos que si sustituimos entonces se cumple que términos con . De esta manera, el único término de nuestra forma general que nos queda es el independiente de cualquier logaritmo, es decir , pero evidentemente , así que todo el límite inferior de nuestra integral es también . Ahora evaluemos el límite superior con usando nuestra forma generalizada
De manera similar, todos los términos con un se anulan, pero en esta ocasión el término independiente no lo hace, sino que se evalúa a . Puesto de forma más clara:
Pero todavía está ese signo alternante molestando, por lo que debemos despejarlo
De esta manera llegamos a la forma inicial encontrada por Euler en su carta a Goldbach, el 13 de octubre de 1729, aunque la forma en que la expresó era ligeramente distinta
Aplicando un cambio de variable encontramos que
También se tiene que cuando y cuando . Entonces, reescribiendo en términos de :
Pero esto no es la función gamma, antes tenemos que desplazarla por razones que honestamente no entiendo. De esta forma llegamos a
De tal suerte que
De cabrones está muy chingón poder extender funciones limitadas a los naturales utilizando propiedades emergentes del cálculo, se siente como forzar la mano de la lógica para conseguir el resultado deseado. O, visto de otro modo, ser guiado a ciegas por las matemáticas hasta una salida extraña, abriendo un mundo de posibilidades, pues es importante considerar que esta nueva definición del factorial permite evaluar su comportamiento en los complejos, lo cual siempre es divertido.